Lo importante para desgravarte en Hacienda ya no es empadronarse, lo que tienes que hacer es cambiar tu domicilio fiscal en Hacienda con el impreso 030, puedes hacerlo por internet o en una agencia tributaria.
Para tener médico en Valdemoro tendrás que llevar el certificado de empadronamiento, pero si no quieres cambiar tu médico y un día estas enfermo en Valdemoro sí te atienden en urgencias o en consulta en médico para desplazados (ha sido mi caso hasta ahora)
Del Dni, lo bueno que por cambio de domicilio, no tiene ningún coste.