Hombre, no sé hasta qué punto te puede suponer problema el no actualizar el DNI con los datos nuevos ... no creo que te multen por no hacerlo. Siempre puedes alegar que aún no has tenido tiempo de hacerlo ... Con que te empadrones en los tres meses posteriores a la escritura (compra) del piso es suficiente ...
Yo también cambién el Carnet de Conducir, pero aquí no te dan un carnet nuevo, sino que te dan una especie de resguardo de que has cambiado de domicilio. Tu carnet sigue siendo el mismo, pero ellos lo tienen anotado ...
Y lo importante en verdad es cambiar el permiso de circulación ... para que el impuesto del coche te lo pasen por Illescas (y te evites engorros de ir a tu antiguo ayuntamiento). A lo mejor, hasta te ahorras unas pelas porque sea más barato en Illescas ...